MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS [932]

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM ;

Quantização da radioatividade

O decaimento radioativo é um processo que envolve conceitos de probabilidade. Partículas dentro de um átomo têm certas probabilidades de decair por unidade de tempo de uma maneira espontânea. A probabilidade de decaimento é independente da vida previa da partícula. Por exemplo se N(t) é considerado o número de partículas como função do tempo, então, temos a taxa de decaimento sendo proporcional a N.^[5]

Formulando matematicamente temos:

${\frac {-dN(t)}{dt}}=\lambda N$

A constante de proporcionalidade tem dimensão inversamente proporcional ao tempo.

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$

onde $N_{0}$ é o número inicial de partículas. O número de partículas de um dado elemento decai exponencialmente numa taxa diretamente proporcional ao elemento. Define-se a vida média de um elemento como

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}$

Tendo um exemplo de muitas partículas, 1/e delas (cerca de 37,8%) não decairão após um tempo $\tau$ . Na Física Nuclear trabalha-se com o conceito de vida média, que é o tempo depois do qual a amostra se reduziu à metade.^[5]

Relacionando essas duas quantidades, assim temos:

$e^{-t1/2/\tau }={\frac {1}{2}}\Rightarrow t1/2=\tau \ln 2$

O fenômeno da desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade. A radioatividade transforma núcleos instáveis fazendo surgir as radiações α, β e γ.

A lei fundamental do decaimento radioativo afirma que a taxa de decaimento é proporcional ao número de núcleos que ainda não decaíram:

$N=N_{o}.e^{-\lambda .t}$

Esta é a equação da lei básica para a radioatividade.

A medida da intensidade da radioatividade é feita em duas unidades que são:

Curie: Definido como a quantidade de material radioativo que

dá $3,7\times 10^{10}$ desintegrações por segundo.

Rutherford (Rd): é definido como a quantidade de substância radioativa que dá $10^{6}$ desintegrações por segundo.

Na natureza existem elementos radioativos que exibem transformação sucessiva, isto é, um elemento decai em substância radioativa que também é radioativa. Na transformação radioativa sucessiva, se o número de nuclídeos qualquer membro da cadeia é constante e não muda com o tempo, é chamado em equilíbrio radioativo.^[3] A condição de equilíbrio é portanto:

$N_{p}=-\lambda _{p}N_{p}=0$

${\frac {dN_{d}}{dt}}=-\lambda _{D}N_{D}=0$

$\lambda _{p}N_{p}=\lambda _{D}N_{D}$

$\lambda _{p}N_{p}=\lambda _{G}N_{G}$ . / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Onde os subscritos P, D e G indicam núcleo-pai (do Inglês parent), núcleo-filha (do Inglês daughter) e núcleo-neta (do Inglês granddaughter) respectivamente.

O estudo da radioatividade e radioisótopos tem várias aplicações na ciência e tecnologia. Algumas delas são:

Determinação da idade de materiais antigos com auxílio de elementos radioativos.
Análises para obtenção de vestígios de elementos.
Aplicações médicas como diagnóstico e tratamento.

A quantização de Landau na mecânica quântica é a quantização das órbitas cíclotron de partículas carregadas em campos magnéticos. Como resultado, as partículas carregadas somente podem ocupar órbitas com valores de energia discretos, denominados níveis de Landau.^[1] Os níveis de Landau são degenerados, com o número de elétrons por nível diretamente proporcional à intensidade do campo magnético aplicado. A quantização de Landau é diretamente responsável por oscilações nas propriedades eletrônicas de materiais em função do campo magnético aplicado. Esta quantização leva o nome do o físico soviético Lev Landau.^[2]

Dedução[editar | editar código-fonte]

Considere um sistema em duas dimensões de partículas não-interagentes com carga $q$ e spin $S$ confinadas em uma área $A = L x L y$ no plano $xy$ .

Aplica-se um campo magnético uniforme $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ ao longo do eixo $z$ . Em unidades CGS, o hamiltoniano do sistema é

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Aqui p̂ é o operador momento canônico e Â é o potencial vetor eletromagnético, o qual é relacionado ao campo magnético por

\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Existe uma liberdade na escolha do calibre para o potencial vetor para um dado campo magnético. O hamiltoniano é invariante sob o calibre, o que significa que a adição do gradiente de um campo escalar ao A altera a fase global da função de onda por um valor correspondente ao campo escalar. Porém as propriedades físicas não são influenciadas pela escolha específica do calibre. Para simplificar os cálculos, vamos adotar o calibre de Landau, o qual diz que

{\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $B$ =|B| e x̂ é a componente $x$ do operador posição.

Neste calibre, o hamiltoniano passa a ser escrito como

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

O operador ${\hat {p}}_{y}$ comuta com este hamiltoniano, desde que o operador ŷ desaparece após a escolha do calibre. Então o operador ${\hat {p}}_{y}$ pode ser substituído pelo seu autovalor $hk y$ .

O hamiltoniano também pode ser escrito em uma maneira mais simples após notar que a frequência de cíclotron é $ω c = qB/mc$ , assim

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Este é exatamente o hamiltoniano do oscilador harmônico quântico, exceto com o mínimo do potencial deslocado na coordenada espacial por

$x 0 = hk y /m? c$ . / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Para encontrar as energias, note que ao transladar o potencial do oscilador harmônico as energias não são alteradas. As energias do sistema são idênticas aquelas padrão do oscilador harmônico quântico,

E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

A energia não depende do número quântico $k y$ , então haverá degenerescência.

Para as funções de ondas, recordamos que ${\hat {p}}_{y}$ comuta com o hamiltoniano. Então a função de onda é dada pelo produto entre os autoestados do momento na direção $y$ e os autoestados do oscilador harmônico $|\phi _{n}\rangle$ deslocados por um fator $x$ ₀ na direção $x$ :

\Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Em suma, o estado do elétron é caracterizado por dois números quânticos, $n$ e $k y$ .

Níveis de Landau[editar | editar código-fonte]

Cada conjunto de funções de onda com o mesmo valor de $n$ é chamado de nível de Landau. Efeitos dos níveis de Landau são observados somente quando a energia térmica média é menor do que a separação entre os níveis de Landau, $kT ≪ ħω c$ , o que significa que o sistema tem que estar definido a baixas temperaturas e campos magnéticos intensos. Cada nível de Landau é degenerado devido ao segundo número quântico $k y$ , o qual pode assumir valores

k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $N$ é um inteiro. Os valores permitidos para $N$ são restritos pela condição de que o centro da força do oscilador, $x 0$ , deve fisicamente ser definida dentro do sistema . Isto leva ao seguinte alcance para $N$ ,

0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Para partículas com carga $q = Ze$ , o limite superior de $N$ pode ser escrito de maneira mais simples como razão dos fluxos magnéticos,

{\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $F 0 = h/2e$ o fluxo magnético quântico fundamental e $F = BA$ é o fluxo através do sistema (com área $A = L x L y$ ). / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Então, para partículas com spin $S$ , o número máximo $D$ de partículas por nível de Landau é

D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Os resultados acima informam apenas uma ideia aproximada dos efeitos de um sistema que é definido dentro de um espaço finito. Falando estritamente, a utilização da solução padrão do oscilador harmônico é apenas válida para sistemas sem limitações na direção - $x$ . Se o tamanho $L x$ é finito, as condições de fronteiras nesta direção dão origem as condições de quantização não-padrão sobre o campo magnético, envolvendo (a princípio) ambas as soluções da equação de Hermite. O enchimento destes níveis com muitos elétrons ainda é ^[3] uma área de pesquisa muito ativa. Em geral, os níveis de Landau são observados em sistemas eletrônicos, onde $Z$ =1 and $S$ =1/2. Enquanto o campo magnético aumenta, mais e mais elétrons preenchem cada nível de Landau. A ocupação do nível de Landau mais energético varia de completamente preenchido a completamente vazio, resultando em oscilações da suscetibilidade magnética em função da intensidade do campo magnético (ver efeito de Haas–van Alphen e Shubnikov–de Haas effect).

Se o efeito Zeeman é considerado, cada nível de Landau é dividido em um par, um para o spin up do elétron e outro para spin down do elétron. Então a ocupação de cada spin no nível de Landau é apenas a razão entre os fluxos $D$ = $F/F 0$ . O efeito Zeeman tem efeito significativo nos níveis de Landau já que suas escalas de energia são as mesmas, $2 μ B B = ħω$ . Entretanto, a energia de Fermi e a energia do estado fundamental se mantém mais ou menos da mesma forma do que em um sistema com muitos níveis cheios, uma vez que os pares divididos dos níveis de energia cancelam um ao outro quando somados.

Discussão[editar | editar código-fonte]

Esta derivação trata $x$ e y como sendo ligeiramente assimétricos. Entretanto, pela simetria do sistema, não existe nenhuma quantidade física que distingue essas coordenadas. O mesmo resultado poderia ser obtido com a apropriada mudança entre $x$ e $y$ .

Além disso, a derivação acima assume que um elétron está confinado na direção- $z$ o que é irrelevante em uma situação experimental - por exemplo na descrição de gases de elétrons em um espaço bidimensional. Ainda assim, esta hipótese não é essencial para os resultados. Se os elétrons são livres para se moverem ao longo da direção- $z$ , a função de onda adquire um termo multiplicativo exp( $ik z z$ ); a energia que corresponde a este movimento livre, $(h k z) 2 /(2m)$ , é adicionado ao $E$ discutido anteriormente. Este termo então preenche a separação de energia dos diferentes níveis de Landau, obscurecendo o efeito da quantização. No entanto, o movimento no plano- $x$ $y$ , perpendicular ao campo magnético, ainda é quantizada.

Níveis de Landau no calibre simétrico[editar | editar código-fonte]

O calibre simétrico se refere a seguinte escolha : ${\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}$

Em termos das dimensões de comprimento e energia, o hamiltoniano pode ser escrita como

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

As unidades corretas podem ser recuperadas introduzindo os fatores $q,c,\hbar ,\mathbf {B}$ and $�$

Considere os seguintes operadores

{\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

{\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

{\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

{\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Estes operadores obedecem as seguintes relações de comutação

[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Em termos dos operadores descritos acima, o hamiltoniano passa a ser escrito como

{\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

O índice do nível de Landau $�$ é o autovalor do operador ${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$

A componente z do momento angular é

{\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Explorando a propriedade $[{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0$ escolhemos as autofunções que diagonalizam ${\hat {H}}$ e ${\hat {L}}_{z}$ . Os autovalores de ${\hat {L}}_{z}$ são denotados por $-m\hbar$ , onde é claro que $m\geq -n$ no $�$ -nível de Landau. Entretanto, pode ser arbitrariamente grande, tornando necessário para obter uma degenerescência infinita (ou uma degenerescência finita por unidade de área) exibida pelo sistema. A aplicação de ${\hat {b}}^{\dagger }$ aumenta o valor de $�$ por uma unidade enquanto preserva o valor de $�$ , enquanto que a aplicação de simultânea de ${\hat {a}}^{\dagger }$ aumenta o valor de $�$ e diminui o valor de $�$ por uma unidade. A analogia ao oscilador harmônico quântico fornece as seguintes soluções

{\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

|n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Cada nível de Landau tem uma degenerescência em cada orbital que é rotulado pelo número quântico $k y$ e $�$ nos calibres de Landau e simétrico respectivamente. A degenerescência por unidade de área é a mesma em cada nível de Landau. Pode-se verificar que os estados acima correspondem a escolha de funções de onda proporcionais à

\psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $w=x+iy$ .

Em particular, o menor nível de Landau $n=0$ consiste de funções analíticas arbitrárias multiplicadas por uma Gaussiana, $\psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}$ . / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Efeitos da transformação de calibre[editar | editar código-fonte]

{\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

A definição cinemática do momento é

{\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde ${\hat {\mathbf {p} }}$ é o momento canônico. O hamiltoniano é invariante sob o calibre então $\langle {\hat {\pi }}\rangle$ e $\langle {\hat {x}}\rangle$ se mantém invariantes sob a transformação de calibre, mas $\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle$ dependerá do calibre. Para observar o efeito da transformação de calibre no estado quântico da partícula, considere o estado com A e A' como um potencial vetor, com estados $|\alpha \rangle$ e $|\alpha '\rangle$ .